ストップウォッチで計測した月の大きさから、月の直径を計算する

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今日の朝、ストップウォッチと電線を使って月の天球上での直径を計測したところ、約0.6度と出ました。

…さて、この値はどこまで正しいのか?

それを確かめる一つの方法は、「正解」を直接ググることです。が、それはあんまりにも面白くない。

そこからは少し離れた情報との整合性を、確かめてみようではありませんか。

それは、月の距離と直径です。それぞれ約38万km、3500km。小学校教育と中学受験のせいかおかげか、脳の中に、刷り込まれ、今でも、亡霊のようにこびりつき、こだまする、この「「「事実」」」と、どれほど一致するのかの概算をします。

三角関数で計算する

月までの距離と、月の天球上での直径(角度)が分かれば、三角関数を使って月の直径を計算することができます:

>>> 38*10000 * math.sin(0.6*math.pi/180.0)
3979.277964173401

実際に数値をいれて計算すると、約4000kmと出ました。文部科学省の提唱する「約3500km」と比べるとちょっと大きいですが、倍か半分ぐらいまでの差は出るだろうな思っていたので、それに比べたらだいぶ近い値が出ています。正直、ちょっと驚いています。

テイラー展開でも計算する

さて、仮に文明がいますぐ何らかの理由で崩壊し、コンピュータの提供する便利なsin関数が使えなくなっても、0度近辺でならsin(x)はxで近似できる(テイラー展開)ことを知っていれば筆算で計算することができます:

>>> 38*10000 * (0.6*3.14159265358979/180.0)
3979.3506945470676 #ほんとに筆算しようと思ったが、めんどくさくなってやめた

上の数値と見比べると、38万kmも先のことを計算したのに、100mも差は出ません。実を言うと大学受験の数学や物理の問題か、大学の数学や物理の試験問題でしかテイラー展開なんか使った事がなかったもので、ここまで差が出ないのかと、またもや驚いています。

しかし、でも、ちょっと大きい。

とはいえ、この結果は、教科書に書いてあった「約3500km」に比べるとちょっと大きいのも事実。この計算につかった「約0.6度」は、地平線近くで測ったものです。地平線の近くにある月は、なんとなく、空の上にある月より大きい気がしませんか。それは人間の錯覚なのか、それとも何らかの理由(大気の屈折とか?)で本当に見かけ上大きくなっているのか。

空の上の方の月でも測定して、もう一度同じように計算してみたいです。

しかし、天気予報によれば、これから先しばらく曇りとのこと。

うーん…次の半月か満月の晴れた夜までに、使えそうな電線を見つけておくことにするか。


ストップウォッチを使って月の大きさを測る

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月を眺めていると、その動きはかなり速いことに気が付きます。

昔のアニメのお歌で「ぼくもわざと立ち止まれば 月も立ち止まる」なんてことばがありましたが、実際に立ち止まってみると、そんなことはありません。動いてるのが目視で分かるくらいの速度で、ゆっくりですが、「歩いて」います(もちろん、だからこのお歌はだめ、なんてことはないですよ)。

さて、このことを使って月の大きさを測ってみました。

方法

月の進行方向と、できるだけ直交する電線を選びます。適当な電線に月が触れるのを眺めたら、ストップウォッチで測定を開始します。そして、月が電線から離れた瞬間に測定終了。その時間を記録して「月の大きさ」とします。「時間」ですが、「大きさ」です。

電線と月の移動する向き(進行方向と呼ぶことにします)は一般にはさまざまな角度をなします。電線と月の進行方向が直交することも、ほぼ同じ方向になることも、ナナメになることも、あるでしょう。「月が電線を横切る時間」を、「月のどこかが電線に触れてから月が完全に電柱から離れるまで」と定義すると、この電線と月の進行方向がなす角度によって、時間が変わってしまいます(すんごい極端な例を考えるとはっきりします)。

月と月の進行方向の直線がまじわる2点を基準にして、この2点が電線と触れる時間と定義して測れば、電線と進行方向の角度の影響を無視できそうな気はするのですが…

まぁ、練習が必要そうなので、今日は「電線と進行方向ができるだけ直交する」一番単純な場合を使って測定します。

結果

4月21日 朝

今日は満月から1日ほど経ったころ。測定結果は次の通りです:

  • 2分16秒
  • 2分23秒

今日は水平線近くが白くて区別がつかなくなってきたので、3度目は断念しました。

約2分20秒とすると、月は29.5日で公転し、地球は1日で自転するので(意図的に細かいところをあえてガン無視している)、このことを使って計算します。

% python
Python 2.7.16 (default, Mar  6 2019, 18:14:51) 
[GCC 5.4.0 20160609] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> moon = 360/29.5
>>> earth = 360.0/1.0
>>> (moon+earth) * 140 / (24*3600.0)
0.6031073446327683
>>> 

天球上の角度はだいたい0.6度?ってことでいいのかな?

今後

理科年表にひょっとすると月の大きさが書いてある気がしてならないのですが、見ないで独自研究をすすめてこうかな。ちょっと悩んでます。

月の満ち欠けみたいに 幸せも 大きくなったり 小さくなったりする」なんて歌詞もあるとおり、月には満ち欠けもあるわけですが、今回の方法を使って月齢を(定量的に)測れたらちょっと面白い気がしています。この場合、月の進行方向と電線の角度にはもっと気をつけないといけないでしょうなぁ。

あとは…そうですねぇ、地平線の近くにあると月は大きく見えるわけですが、これが本当なのかどうか、実測してみたいかも。

太陽

太陽も測ってみたいが、どうすればよいのか…陰を使えばいいのだろうか。

ストップウォッチやめたい

ここでテクノロジーに頼ってるのすこし違和感があるので、ストップウォッチもやめたいんですが、時間を測定するいい道具ないかな。月が電線を横切る時間と、一日の長さ(「日の出から次の日の日の出までの間」としましょう)を同時に測定できる道具…なんだろ。